Calculateur de combinaisons et arrangements

En combinatoire, on distingue deux types de sélections. Un arrangement (ou permutation partielle) est une sélection ordonnée de p éléments parmi n : l'ordre compte. Par exemple, choisir 3 membres d'un comité pour des postes distincts (président, trésorier, secrétaire) parmi 10 candidats est un arrangement. Une combinaison est une sélection non ordonnée : choisir 3 membres parmi 10 pour former un groupe sans rôle défini est une combinaison.

Formules de base. Combinaison sans répétition : C(n,p) = n! / (p! × (n-p)!). Arrangement sans répétition : A(n,p) = n! / (n-p)!. On constate que A(n,p) = C(n,p) × p!, ce qui signifie que pour chaque combinaison de p éléments, il existe p! arrangements possibles (les différentes façons d'ordonner ces p éléments).

Sans répétition : chaque élément ne peut être choisi qu'une seule fois. C'est le cas le plus courant : tirage de cartes, sélection de membres, formation d'équipes. Avec répétition : un élément peut être choisi plusieurs fois. Par exemple, choisir un code PIN de 4 chiffres parmi les chiffres 0-9 avec répétition autorisée (car le même chiffre peut apparaître plusieurs fois).

Formules avec répétition. Combinaison avec répétition : C*(n,p) = C(n+p-1, p) = (n+p-1)! / (p! × (n-1)!). Arrangement avec répétition : A*(n,p) = n^p (chaque des p positions peut prendre n valeurs). Pour 4 chiffres de 0 à 9 avec répétition : 10^4 = 10 000 codes différents. Pour 4 chiffres sans répétition : A(10,4) = 10 × 9 × 8 × 7 = 5 040 codes.

Loto : tirage de 6 numéros parmi 49 sans répétition, sans ordre → C(49,6) = 13 983 816 combinaisons possibles. Poker : une main de 5 cartes parmi 52 → C(52,5) = 2 598 960 mains différentes. Code cadenas : 4 chiffres de 0 à 9 avec répétition et ordre → A*(10,4) = 10 000 combinaisons. Équipe sportive : 11 joueurs parmi 15 → C(15,11) = 1 365 compositions différentes.

En probabilités, les combinaisons servent à calculer des probabilités : P(événement) = nombre de cas favorables / nombre de cas totaux. Par exemple, la probabilité de tirer une couleur complète au poker (5 cartes de même couleur) = 4 × C(13,5) / C(52,5) = 4 × 1287 / 2598960 ≈ 0,198 % (flush).

Le triangle de Pascal organise les combinaisons C(n,p) en tableau triangulaire : chaque élément est la somme des deux éléments au-dessus de lui. La n-ième ligne du triangle contient les coefficients C(n,0), C(n,1), …, C(n,n), qui correspondent aux coefficients du développement du binôme (a+b)^n selon le théorème du binôme de Newton : (a+b)^n = Σ C(n,k) × a^(n-k) × b^k.

Les combinaisons apparaissent aussi dans les probabilités binomiales (distribution de Bernoulli), les chemins dans un graphe en treillis, les coefficients des polynômes et de nombreuses formules de dénombrement en mathématiques discrètes. La formule de Pascal, C(n,p) = C(n-1,p-1) + C(n-1,p), permet de calculer les combinaisons de manière récursive et efficace.