Calculateur de PGCD / PPCM

Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de deux nombres est le plus grand entier qui divise les deux. L'algorithme d'Euclide consiste à calculer le reste de la division de a par b, puis à répéter avec b et ce reste jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier diviseur non nul est le PGCD.

Exemple : PGCD(48, 18). 48 = 18 × 2 + 12, puis 18 = 12 × 1 + 6, puis 12 = 6 × 2 + 0. Le PGCD est 6. Cette méthode est rapide même pour de grands nombres et est au programme du collège et du lycée.

Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) est le plus petit entier divisible par les deux nombres. Il existe une relation directe : PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = |a × b|. Ainsi, PPCM = |a × b| / PGCD(a, b).

Pour calculer le PPCM, on peut donc d'abord calculer le PGCD par l'algorithme d'Euclide, puis appliquer cette formule. Exemple : pour 48 et 18, PGCD = 6, donc PPCM = 48 × 18 / 6 = 144.

Un outil en ligne permet de saisir deux entiers (souvent positifs) et affiche le PGCD et le PPCM. Certains acceptent plus de deux nombres ou proposent le détail des étapes de l'algorithme d'Euclide.

Utile pour vérifier un exercice, simplifier des fractions (le PGCD du numérateur et du dénominateur donne la fraction irréductible), ou trouver un dénominateur commun (le PPCM des dénominateurs) pour additionner des fractions.

En arithmétique, le PGCD sert à simplifier des fractions, à résoudre des équations diophantiennes ou à vérifier si deux nombres sont premiers entre eux (PGCD = 1). Le PPCM intervient dans les problèmes de rendez-vous périodiques (quand deux événements se reproduisent en même temps).

En cryptographie, l'algorithme d'Euclide étendu est utilisé dans le calcul de clés. En pratique quotidienne, PGCD et PPCM aident à répartir des objets en parts égales ou à trouver des cycles communs.

Le PGCD de deux nombres se calcule efficacement avec l'algorithme d'Euclide. Le PPCM se déduit par la formule PGCD × PPCM = |a × b|. Ces deux notions sont liées et complémentaires.

Un calculateur PGCD / PPCM en ligne donne instantanément les résultats. Pour la compréhension et les contrôles, maîtriser l'algorithme d'Euclide reste essentiel.